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  Forcing Axioms

渕野昌 (Sakaé Fuchino)
    fuchino@isc.chubu.ac.jp
        2002 年 10 月 2 日

＠数学基礎論シンポジウム 02 – 名古屋

V を集合論の universe とする．便宜上， V は実はそれよりずっと大きな universe W の元になっているものとする — さらに， V は W では可算な tansitive structure になっているとすると都合がよい．都合がよい，とは

consistency の度合を変えることなく，そのように仮定できるの意を含む． V が transitive とは: x ∈ y ∈ V ⇒ x ∈ V.

V の中の，最大元を持つ partial ordering P = (P, ≤) に対し，次を満たすような G ⊆ P が W でとれる（一般には存在は一意ではない）：

(1) G は上方向に閉じている；

(2) ∀ p, q ∈ G に対し， r ∈ P で r ≤ p, q となるものが存在する;

(3) ∀ D ∈ V, D ⊆ P に対し， D が P と co-initial なら， D ∩ G ≠ ∅.

(1) ∼ (3) を満たす G は (V, P)-generic であるという． G が (V, P)-generic なら， V を含む transitive な V′ で，次を満たすものがとれる．

(a) Ord^{V} = Ord^{V′}, G ∈ V′, V′ ⊧ ZFC

(b) V′ は (a) を満たすもののうち ⊆ に関し最小．上のような V′ を V [G] とあらわし， V の P 上の generic extension とよぶ． forcing の最初の応用は， Paul Cohen による連続体仮説の否定の無矛盾性証明だった． p, q ∈ P は， r ≤ p, q となるような r ∈ P が存在しないとき， incompatible であるという． P の pairwise incompatible な部分集合がすべて高々可算のとき， P は， countable chain condition (c.c.c.) を満たす，という． κ を V での cardinal > ℵ_{1} として， P_{κ} = {p : p は関数で， dom(p) は κ の finite subset, range(p) = {0, 1}} として， p, q ∈ P_{κ} に対し， p ≤ q ⇔ p ⊇ q とする．定理 1. (P. Cohen) (a) P が c.c.c. を満たすなら，すべての (V, P)-generic G に対し Card^{V} = Card^{V [G]} が成り立つ．

[figure: W; V [G]; V; G]

(b) P_{κ} は c.c.c. を満たす．

(c) G を (V, P_{κ})-generic とすると， V [G] ⊧ ¬CH.

Martin’s Axiom: すべての c.c.c. p.o. P と P の coinitial subsets の族 D で | D | < 2^{ℵ_{0}} となるものに対し， G ⊆ P で次を満たすものが存在する．

(1) G は上方向に閉じている；

(2) ∀ p, q ∈ G に対し， r ∈ P で r ≤ p, q となるものが存在する; (3’) ∀ D ∈ D, に対し， D ∩ G ≠ ∅. 上のような G は， (D, P)-generic set とよばれる． MA_{ℵ_{1}} : すべての c.c.c. p.o. P と P の co-initial subsets の族 D で | D | = ℵ_{1} となるものに対し， (D, P)-generic な G ⊆ P が存在する． Martin’s Axiom + ¬CH ⇒ MA_{ℵ_{1}} ⇒ ¬CH (Solovay-Tennenbaum, 1971) ZFC + Martin’s Axiom + ¬CH は ZFC と equi-consistent.

Forcing Axioms

C を partial orderings のクラスとするとき： FA(C, κ) : すべての P ∈ C と P の co-initial subsets の族 D で | D | ≤ κ となるものに対し， (D, P)-generic な G ⊆ P が存在する． FA(c.c.c. p.o.s, ℵ_{1}) ⇔ MA_{ℵ_{1}} FA(proper p.o.s, ℵ_{1}) ⇔ Proper Forcing Axiom (PFA) FA(stat. preserving p.o.s, ℵ_{1}) ⇔ Martin’s Maximum (MM) P は proper ⇔ 任意の κ に対し， X ⊆ [κ]^{ℵ_{0}} が stationary なら，任意の (V, P)-generic G に対し，

V [G] ⊧ “X は [κ]^{ℵ_{0}} で stationary”

P は stationary preserving ⇔ X ⊆ ω_{1} が stationary なら，任意の (V, P)-generic G に対し，

V [G] ⊧ “X は ω_{1} で stationary” c.c.c. p.o.s ⊆ proper p.o.s ⊆ stationary preserving p.o.s MM ⇒ PFA ⇒ MA + ¬CH MA + ¬CH の仮定のもとで： ◎ Suslin Hypothesis が成り立つ (i.e. Suslin tree は存在しない). ◎ cardinal invariants of real は（ほとんど）すべて 2^{ℵ_{0}} と等しくなる． ◎ 2^{ℵ_{0}} は regular となるが，値は確定しない． ◎ Baumgartner’s assertion （すべての ℵ_{1}-dense set は同型）の真偽は確定しない (Abraham-Shelah)． ◎ Open Coloring Axiom (OCA) の真偽は確定しない (OCA + MA なら 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} に注意) ◎ “すべての Σ_{3}^{1} 集合は可測” の真偽は確定しない (Harrington-Shelah)

MM ⇒ PFA ⇒ MA + ¬CH PFA の仮定のもとで： ◎ 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} (Velickovic) ◎ Baumgarnter’s Assertion が成り立つ． ◎ OCA が成り立つ． MM の仮定のもとで： ◎ projective determinacy が成り立つ (Woodin). 特にすべての projective set は可測でベールの性質を持つ． \underline{FA(C, κ) の特徴付け}（C = c.c.c. p.o.s, proper p.o.s, etc）

Theorem (S.F., 1992) FA(C, κ) は次の命題と同値である：すべての濃度 κ の構造 A と，他の構造 B に対し，もし，あるP ∈ C と (V, P)-generic set G が存在して V [G] で A が B に埋め込み可能なら， A は B に（V で本当に）埋め込み可能である．注意．上の命題は， ZFC で記述可能である．

Bounded Forcing Axioms

BFA_{κ}(C): すべての P ∈ C と，濃度 κ の集合から生成されるような P の co-initial subsets の族 D で | D | ≤ κ となるものに対し， (D, P)-generic set G ⊆ P が存在する． BFA_{κ}(c.c.c. p.o.s) ⇔ MA_{κ} BFA_{ℵ_{1}}(proper p.o.s) ⇔ Bounded Proper Forcing Axiom (BPFA) BFA_{ℵ_{1}}(stationary preserving p.o.s) ⇔ Bounded Martin’s Maximum (BMM)

MM ⇒ BMM ⇒BPFA ⇒ MA_{ℵ_{1}}

Bounded Forcing Axioms の特徴付け Cardinal κ に対し，

H(κ) = {x : | trcl(x) | < κ}

とする．ただし trcl(x) は集合 x の transitive closure. H(ℵ_{0}) : hereditary finite な集合の全体． (H(ℵ_{0}), ∈) ∼ (NI, 0, 1,′ , +, ·, ⋯)^{eq} H(ℵ_{1}) : hereditary countable な集合の全体． (H(ℵ_{1}), ∈) ∼ (P (NI), NI, ∈, 0, 1,′ , +, ·, ⋯)^{eq} κ > ℵ_{1} なら， (H(ℵ_{1}), ∈) は (H(κ), ∈) で definable.

Theorem (Bagaria) BFA_{κ}(C) は次と同値：すべての P ∈ C と (V, P)-generic な G ⊆ P に対し， H(κ^{+})^{V} ≺_{Σ_{1}} H(κ^{+})^{V [G]}.

BMM は連続体問題に対する精密な回答を与える：

Theorem. (Todorcevic) BMM を仮定する．このとき IR の長さ ω_{2} の well-ordering で (H(ℵ_{2}), ∈) で定義可能なものが存在する．特に， BMM のもとで 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} となる．

Consistency Strength

◎ BPFA は ZFC + ∃ Σ_{1}-reflecting cardinal と equiconsistent (Goldstern-Shelah). これは ZFC + ∃ Mahlo cardinal より consistency strength は弱い． ◎ BMM は PFA よりずっと弱い consistency strength を持つ（らしい） (Woodin).