 数理解析 I 第 1 回試験 2005–6–21  河野

注意: 「答」そのものは採点の対象にはしない。「答」に至る過程を採点の対象にする。したがって，答案は単に「答」を書くだけでなく，「答」に至るまでの経緯を論理的に論述する事。答案作成は数式も含め作文であるから，主語・述語・テニヲハ・句読点等に十分注意する事。証明なしで定理・命題を使用するときはその正確な内容を明示する事。採点は減点法を採用する。つまり間違いの内容によっては白紙答案より低い点数になる場合がある。 careless miss でそのような事はないが，「分からなくても適当に何か書いておけ」という姿勢で回答するとそうなることがある。在籍番号欄について : 再履修者は 10 桁の在籍番号を書く事。 1 年生は出席番号 (多くは 2 桁) でよい。

1 次の命題の否定命題をつくれ。またその否定命題が正しいかどうか，理由をつけて答えよ。

任意の自然数 n に対し，ある自然数 m が存在して m > n が成立する。

否定命題は

ある自然数 n が存在し，任意の自然数 m に対し m < = n が成立する。

です。この否定命題が正しいとすると， n に対し m として (m は任意でいいので) n + 1 を採用すると n + 1 < = n が成立する。これは矛盾なので否定命題は正しくない。命題を否定するとき「⋯ m < = n が成立しない。」としているものが少なくない数で存在した。否定するのだから「⋯ m < = n が成立する。」または「⋯ m > n が成立しない。」の「いずれかです。

2 関数 y = cos x を定義に基づいて微分せよ。ただし次の極限値は用いてよい。

lim_{h→0} \frac{sin h}{h} = 1 lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h} = 1

(cos x)′ = lim_{h→0} \frac{cos(x + h) − cos x}{h} = lim_{h→0} \frac{cos x cos h − sin x sin h − cos x}{h}
= cos x lim_{h→0} \frac{cos h − 1}{h} − sin x lim_{h→0} \frac{sin h}{h}
= cos x lim_{h→0} \frac{(cos h − 1)(cos h + 1)}{h(cos h + 1)} − sin x × 1

= cos x lim_{h→0} \frac{cos^{2} h − 1}{h(cos h + 1)} − sin x = cos x lim_{h→0} \frac{− sin^{2} h}{h(cos h + 1)} − sin x
= − cos x lim_{h→0} \frac{sin h}{h} lim_{h→0} \frac{sin h}{cos h + 1} − sin x
= − cos x × 1 × 0 − sin x
= − sin x

裏にも問題あり。別紙にも問題あり学科_{在籍番号}{氏 \atop 名}

3 次のようにパラメータ表示された曲線の概形を書け。 x = x(t) = t − t^{3}, y = y(t) = 1 − t^{4}

x′ = x′(t) = 1 − 3t^{2} なので x′(t) = 0 となるのは t = ± \frac{1}{\sqrt{3}} である。 y′ = y′(t) = −4t^{3} なので y′(t) = 0 となるのは t = 0 である。よって増減表は次のようになる。

t  − \frac{1}{\sqrt{3}}  0  \frac{1}{\sqrt{3}}
x′ −  0  + + +  0  −
x ←  → → →  ←
y′ +  +  + 0 −  −  −
y  ↑  ↑  ↑  ↓  ↓  ↓
曲線 ↖  ↑  ↗ ← ↘  ↓  ↙

x–軸との交わりは， y(t) = 1 − t^{4} = 0 を解くと得られる。 t = ±1 となる。 y–軸との交わりは， x(t) = t − t^{3} = 0 を解くと得られる。 t = 0, ±1 となる。このことに考慮して図を描くと左図の様になる。

4 z = x + y, s = x^{2} + y^{2}, t = xy について次の問に答えよ。

(1) \frac{D(s, t)}{D(x, y)} を求めよ。

\frac{D(s, t)}{D(x, y)} = ( \begin{matrix}\frac{∂s}{∂x} & \frac{∂s}{∂y} \\ \frac{∂t}{∂x} & \frac{∂t}{∂y} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2x & 2y \\ y & x \end{matrix} ) である。

(2) \frac{D(x, y)}{D(s, t)} を求めよ。

\frac{D(x, y)}{D(s, t)} = ( \frac{D(s, t)}{D(x, y)} )^{−1} = ( \begin{matrix}2x & 2y \\ y & x \end{matrix} )^{−1} = \frac{1}{2(x^{2} − y^{2})} ( \begin{matrix}x & −2y \\ −y & 2x \end{matrix} )

逆行列の計算を間違った人へ : A の逆行列 B が求まったとき，検算として AB を計算する。この結果が単位行列であれば，計算は正しいし，そうでなければ間違っている。

(3) \frac{∂z}{∂s} を求めよ。

(2) より\frac{∂x}{∂s} = \frac{x}{2(x^{2} − y^{2})} , \frac{∂y}{∂s} = \frac{−y}{2(x^{2} − y^{2})} が分かるので，

\frac{∂z}{∂s} = \frac{∂z}{∂x} \frac{∂x}{∂s} + \frac{∂z}{∂y} \frac{∂y}{∂s} = 1 × \frac{x}{2(x^{2} − y^{2})} + 1 × \frac{−y}{2(x^{2} − y^{2})}
= \frac{x − y}{2(x^{2} − y^{2})} = \frac{1}{2(x + y)}

となる

(4) \frac{∂^{2}z}{∂s^{2}} を求めよ。

w = \frac{∂z}{∂w} とおくと

\frac{∂^{2}z}{∂s^{2}} = \frac{∂w}{∂s} = \frac{∂w}{∂x} \frac{∂x}{∂s} + \frac{∂w}{∂y} \frac{∂y}{∂s}
= − \frac{1}{4(x + y)^{3}}

となる。 5 y = e^{x} の x = 2 におけるテーラー級数を求めよ。

y = f(x) = e^{x} とおくと f′(x) = e^{x} なので任意の n に対し f^{(n)}(x) = e^{x} となる。 e^{2} = f(2) = f′(2) = f′′(2) = ⋯ = f^{(n)}(2) = ⋯ なので

e^{x} = e^{2} + e^{2}(x − 2) + \frac{1}{2} e^{2}(x − 2)^{2} + ⋯ + \frac{1}{n!} e^{2}(x − 2)^{n} + ⋯

となる。

6 z = e^{−(x^{2}+y^{2})} (ax^{2} + by^{2}) (a > b > 0) の極値と極値をとる点を求めよ。

z_{x} = −2xe^{−(x^{2}+y^{2})}(ax^{2} + by^{2}) + 2e^{−(x^{2}+y^{2})}ax, z_{y} = −2ye^{−(x^{2}+y^{2})}(ax^{2} + by^{2}) + 2e^{−(x^{2}+y^{2})}by なので連立方程式 z_{x} = 0, z_{y} = 0 を解く。 z_{x} = 0 より x(a − ax^{2} − by^{2}) = 0 を得る。よって x = 0 または a = ax^{2} + by^{2} である。 z_{y} = 0 より y(b − ax^{2} − by^{2}) = 0 を得る。よって y = 0 または b = ax^{2} + by^{2} である。 x = 0 のとき y = 0 は解であるが， y ≠ 0 とすると b = ax^{2} + by^{2} が成立しているこのとき b = by^{2} となるので y = ±1 となる。 x ≠ 0 のとき a = ax^{2} + by^{2} が成立している。 a ≠ b なので b = ax^{2} + by^{2} は成立しない。よって y = 0 となる。このとき a = ax^{2} となり x = ±1 となる。以上により臨界点は

(x, y) = (0, 0), (0, ±1), (±1, 0)

となる。

H(x, y) = | \begin{matrix}2e^{−(x^{2}+y^{2})}(−5ax^{2} − by^{2} + 2x^{4}a + 2x^{2}by^{2} + a) & 4xye^{−(x^{2}+y^{2})}(ax^{2} + by^{2} − b − a) \\ 4xye^{−(x^{2}+y^{2})}(ax^{2} + by^{2} − b − a) & 2e^{−(x^{2}+y^{2})}(−ax^{2} − 5by^{2} + 2y^{2}ax^{2} + 2y^{4}b + b) \end{matrix} |

なので

B(0, 0) = | \begin{matrix}2a & 0 \\ 0 & 2b \end{matrix} | = 4ab > 0

B(0, 1) = | \begin{matrix}\frac{2(a − b)}{e} & 0 \\ 0 & − \frac{4b}{e} \end{matrix} | = − \frac{8(a − b)b}{e^{2}} < 0

B(0, −1) = | \begin{matrix}\frac{2(a − b)}{e} & 0 \\ 0 & − \frac{4b}{e} \end{matrix} | = − \frac{8(a − b)b}{e^{2}} < 0

B(1, 0) = | \begin{matrix}− \frac{4a}{e} & 0 \\ 0 & \frac{2(b − a)}{e} \end{matrix} | = − \frac{8(b − a)a}{e^{2}} > 0

B(−1, 0) = | \begin{matrix}− \frac{4a}{e} & 0 \\ 0 & \frac{2(b − a)}{e} \end{matrix} | = − \frac{8(b − a)a}{e^{2}} > 0

となる。よって z は (x, y) = (0, 0) で極小値 z(0, 0) = 0， (x, y) = (±1, 0) で極大値 z(±1, 0) = \frac{a}{e} をとる。

裏にも問題有り学科_{在籍番号}{氏 \atop 名}

7 3 辺の和が一定の 3 角形の中で面積が最大なものが存在する事を示し，それを求めよ。

ここではヘロンの公式を用いて解こう。ヘロンの公式 : 3 角形の 3 辺の長さを a, b, c とするとき， s = \frac{a + b + c}{2} とおくとき， 3 角形の面積

S は S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)} となる。

3 角形の各辺の長さを x, y, z とする。 3 辺の長さの和は一定であるのでこれを 2s とおく，即ち x+y+z = 2s (s > 0) が成立している。 x, y, z は辺の長さであるから x > 0, y > 0, z > 0 を満たしている。 x, y, z が 3 角形の 3 辺をなすためには 3 角不等式，即ち x+y > z, y+z > x, z+x > y が成立している事が必要である。逆にこれらの不等式が成立しているとき， 3 辺の長さが x, y, z であるような 3 角形が存在する。 z を消去して x, y の不等式から x < s, y < s, x + y > s が得られる。逆にこの 3 つの不等式をみたす x, y は最初の 6 つの不等式を満たすことを示す。 x + y > s > y より x + y > y，よって x > 0 を得る。 x + y > s > x より x + y > x，よって y > 0 を得る。 s > x, s > y より 2s > x + y となるが， z = 2s − (x + y) > 0 を得る。 x < s を 2 倍すると 2x < 2s となる。 2x − x < 2s − (x + y) + y なので x < z + y を得る。 y < s を 2 倍すると 2y < 2s となる。 2y − y < 2s − (x + y) + x なので y < z + x を得る。 x + y > s を 2 倍すると 2x + 2y > 2s となる。 x + y > 2s − (x + y) なので x + y > z を得る。 \overline{D} = \{ (x, y) ∈ R^{2} | x < = s, y < = s, x + y > = s \} とおく。ここで S が最大のとき S^{2} が最大であり，逆も成立する。よって f(x, y) = S^{2} = s(s − x)(s − y)(x + y − s) とおき，\overline{D} 上で f(x, y) の最大値を求める。\overline{D} は有界閉集合であり， f(x, y) は\overline{D} 上の連続関数なので最大値が存在する。境界上または内部の点が最大値を与える。境界上では関数は f(x, y) = 0 となる。内部で最大値をとる点は (広義の) 極値になっている。臨界点を求める。 f_{x} = s(s − x)(s − y) − s(s − y)(x + y − s) = 0, f_{y} = s(s − x)(s − y) − s(s − x)(x + y − s) = 0 より

(x, y) = (0, s).(s, 0), (s, s), ( \frac{2s}{3} , \frac{2s}{3} ) が得られる。この中に最大値を与える点が存在するので，それは (x, y) = ( \frac{2s}{3} , \frac{2s}{3} ) である。以

上により最大値を与える 3 角形は正 3 角形である。

8 授業についての感想，数学について思う事などがあれば記せ (10)。