- Lens Space の標準形 を
marked diagram $B,R,L,Z_1,Z_2$ の貼り合わせと考える。
-
図では mark は緑色の点で表されている。
- 2つの marked diagram は mark が重なる様に
境界の $S^1$ で貼り付けられるものとする。
- marked diagram $X$ と $Y$ を境界で貼り付けてできる marked diagram
を$XY$ で表す。
- $X^1=X$，$X^{k+1}=X^kX$ と帰納的に定義する。
- $BZ_1,BZ_2$ を除くと Lens Space の標準形は次のいずれかである。
- $BR^{n_1}L^{n_2}\cdots R^{n_k}Z_i (k:\hbox{odd})$
- $BR^{n_1}L^{n_2}\cdots L^{n_k}Z_i (k:\hbox{even})$
- $BL^{n_1}R^{n_2}\cdots R^{n_k}Z_i (k:\hbox{even})$
- $BL^{n_1}R^{n_2}\cdots L^{n_k}Z_i (k:\hbox{odd})$
図の例は$BRLZ_1$である。
- DS-diagram のリストではこれを
- R[$n_1,n_2,\ldots,n_k:i$]
- R[$n_1,n_2,\ldots,n_k:i$]
- L[$n_1,n_2,\ldots,n_k:i$]
- L[$n_1,n_2,\ldots,n_k:i$]
と書く。$BZ_i$は[:i]と書く。
- この表示が与えられているとき$L(p,q)$は次の様に計算できる。
- $U(n)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\n&1\end{array}\right)$，
$T(n)=\left(\begin{array}{cc}n-1&1\\n&1\end{array}\right)$，
$E_1=U(3)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\3&1\end{array}\right)$，
$E_2=T(3)=\left(\begin{array}{cc}2&1\\3&1\end{array}\right)$，
$v(i)=2-i$と置く。(1)-(4)に対応して
- $(p,q)=(1,1)U(n_1)T(n_2)T(n_3)\cdots T(n_k)E_i$
- $(p,q)=(1,1)U(n_1)T(n_2)T(n_3)\cdots T(n_k)E_{v(i)}$
- $(p,q)=(1,1)T(n_1)T(n_2)T(n_3)\cdots T(n_k)E_i$
- $(p,q)=(1,1)T(n_1)T(n_2)T(n_3)\cdots T(n_k)E_{v(i)}$
Last modified: 2025/05/23 23:20