(2.4) 合成関数の導関数
積の微分法は偏微分でも1変数と同様であるが
合成関数の導関数は1変数と異なるので特に注意が必要である。
定理 2.12 [積の微分法]
\begin{align*}
\kakko{f(x,y)g(x,y)}_x &=(f(x,y))_x\cdot g(x,y)
+f(x,y)\cdot (g(x,y))_x\\
\kakko{f(x,y)g(x,y)}_y &=(f(x,y))_y\cdot g(x,y)
+f(x,y)\cdot (g(x,y))_y
\end{align*}
命題 2.13 [合成関数の微分法(1)]
$z=z(u),u=u(x,y)$ が微分可能のとき
\begin{align*}
\dfrac{\bd z}{\bd x}&=\dfrac{dz}{du}\dfrac{\bd u}{\bd x}\\
\dfrac{\bd z}{\bd y}&=\dfrac{dz}{du}\dfrac{\bd u}{\bd y}
\end{align*}
定理 2.14 [合成関数の微分法(2)]
$z=z(x,y),x=x(s,t),y=y(s,t)$ は微分可能とする。
このとき $z(x(s,t),y(s,t))$ を $s$
で微分した偏導関数および $z(x(s,t),y(s,t))$ を $t$ で微分した偏導関数は次で与えられる。
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\bd z}{\bd s}&=&
\dfrac{\bd z}{\bd x}\dfrac{\bd x}{\bd s}+
\dfrac{\bd z}{\bd y}\dfrac{\bd y}{\bd s}\\
\dfrac{\bd z}{\bd t}&=&
\dfrac{\bd z}{\bd x}\dfrac{\bd x}{\bd t}+
\dfrac{\bd z}{\bd y}\dfrac{\bd y}{\bd t}
\end{eqnarray*}
命題 2.13 および定理 2.14
がそれぞれどのような場合に適用されるかは変数間の関係を見ることで分かる。
例えば $z$ を $s$ で微分するとき，$s$ から $z$ へ向かうすべての経路を考える。
それぞれの経路について，その辺上の導関数をかけ，
すべての経路に関して和をとると，求める導関数が得られる。
定理 2.14 は1変数の合成関数の導関数の定理とは異なっている。
2変数のとき合成関数の微分はなぜこの形になるのか？ 厳密ではないが「証明」を紹介する。
最初に1変数の場合の合成関数の導関数の定理の「証明」を復習しよう。
$y=f(x)$と$z=g(y)$との合成関数$z=g\circ f(x)$を考える。導関数は
\begin{align*}
\dfrac{dz}{dx}(a)&=\lim_{h\to0}\frac{g\circ f(a+h)-g\circ f(a)}h
=\lim_{h\to0}\frac{g\big(f(a+h)\big)-g\big(f(a)\big)}h\\
&\text{%
である。$b=f(a)$，$k=f(a+h)-f(a)$ とおくと，
$f(a+h)=f(a)+k=b+k$ であり
$h\to0$ のとき $k\to0$ となるので
}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{g\big(f(a+h)\big)-g\big(f(a)\big)}{f(a+h)-f(a)}
\frac{f(a+h)-f(a)}h\\
&=\lim_{k\to0}\frac{g(b+k)-g(b)}k\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\
&=\dfrac{dg}{dy}(b)\dfrac{df}{dx}(a)
\end{align*}
となる。
2変数を考える。
$$\Delta=z(x(s+h,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s,t))$$
とおくと
$\dfrac{\bd z}{\bd s}=\lim_{h\to0}\frac{\Delta}h$である。
$\Delta=z(x(s+h,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s+h,t))
+z(x(s,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s,t))$
より
\begin{align*}
\frac{\Delta}h=&
\frac{z(x(s+h,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s+h,t))
}h\\
&+\frac{z(x(s,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s,t))}h\\
=&\frac{z(x(s+h,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s+h,t))}%
{x(s+h,t)-x(s,t)}
\frac{x(s+h,t)-x(s,t)}h\\
&+\frac{z(x(s,t),y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s,t))}%
{y(s+h,t)-y(s,t)}
\frac{y(s+h,t)-y(s,t)}h\\
&\text{$H=x(s+h,t)-x(s,t)$，$K=y(s+h,t)-y(s,t)$ とおくと}\\
=&\frac{z(x(s,t)+H,y(s+h,t))-z(x(s,t),y(s+h,t))}H%
\frac{x(s+h,t)-x(s,t)}h\\
&+\frac{z(x(s,t),y(s,t)+K)-z(x(s,t),y(s,t))}K%
\frac{y(s+h,t)-y(s,t)}h
\end{align*}
ここで $h\to0$ とすると
$H\to0,K\to0$ となるので
$$\dfrac{\bd z}{\bd s}=\dfrac{\bd z}{\bd x}\dfrac{\bd x}{\bd s}+
\dfrac{\bd z}{\bd y}\dfrac{\bd y}{\bd s}$$
が得られる。
演習問題 2.9
定理 2.12 を示せ。
演習問題[*] 2.10
命題 2.13 を示せ。
演習問題[*] 2.11
定理 2.14を示せ。
$z=z(x,y)=\sin\kakko{x^2y^2}\log\kakko{x^3+y^3}$
の導関数を求めてみよう。積の微分法を用いると
\begin{align*}
z_x&=\kakko{\sin\kakko{x^2y^2}\log\kakko{x^3+y^3}}_x\\
&=\kakko{\sin\kakko{x^2y^2}}_x\log\kakko{x^3+y^3}
+\sin\kakko{x^2y^2}\kakko{\log\kakko{x^3+y^3}}_x
\end{align*}
となる。
$u=x^2y^2$とおくと$u_x=2xy^2$なので
\begin{align*}
\kakko{\sin\kakko{x^2y^2}}_x&=\dfrac{d}{du}\sin u\cdot u_x
=2xy^2\cos\kakko{x^2y^2}
\end{align*}
となる。
$u=x^3+y^3$とおくと$u_x=3x^2$なので
\begin{align*}
\kakko{\log\kakko{x^3+y^3}}_x&=\dfrac{d}{du}\log u\cdot u_x
=\frac{3x^2}{x^3+y^3}
\end{align*}
となる。よって
$$z_x=2xy^2\cos\kakko{x^2y^2}\log\kakko{x^3+y^3}
+\frac{3x^2\sin\kakko{x^2y^2}}{x^3+y^3}$$
演習問題 2.12
次の関数の偏導関数を求めよ。
- $z=x^3-3xy+y^3$
- $z=(x^3+y^4)^{100}$
- $z=\dfrac{x-y}{2x+3y}$
- $z=\sqrt{x^2+y^2}$
- $z= e^{ax^2+by^2}$
- $z=x\arctan\dfrac{x}{y}$
- $z=xy\sin(x^2+y^2)$
- $z=x^2y^2\log(x^3+y^3)$
- $z=xy\arcsin\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
- $z=x^xy^yx^yy^x$
関数 $z=f(x,y)$ の導関数 $f_x$, $f_y$
が偏微分可能のとき更に導関数を
考えることができる。
$f_x$ の $x$ に関する導関数 $(f_x)_x$ および
$y$ に関する導関数 $(f_x)_y$
をそれぞれ
$$f_{xx},\hS f_{xy}$$
と書く。
また $f_y$ の導関数も同様に定義できる。
これらを2階の偏導関数(2次偏導関数)と呼ぶ。
$\dfrac{\bd z}{\bd x}$ の表し方で言うと，
$\dfrac{\bd z}{\bd x}$ を $x$ で微分した関数は
$\dfrac{\bd}{\bd x}\left(\dfrac{\bd z}{\bd x}\right)$ から
$\dfrac{\bd^2z}{\bd x^2}$と書く。同様に
$\dfrac{\bd z}{\bd x}$ を $y$ で微分した関数は
$\dfrac{\bd}{\bd y}\left(\dfrac{\bd z}{\bd x}\right)$から
$\dfrac{\bd^2z}{\bd y\bd x}$ と書く。
$\dfrac{\bd z}{\bd y}$を $x$ で微分した関数は
$\dfrac{\bd}{\bd x}\left(\dfrac{\bd z}{\bd y}\right)$ から
$\dfrac{\bd^2z}{\bd x\bd y}$ と表す。
$\dfrac{\bd z}{\bd y}$を $y$ で微分した関数は
$\dfrac{\bd}{y}\left(\dfrac{\bd z}{\bd y}\right)$ から
$\dfrac{\bd^2z}{\bd y^2}$ と表す。
3階以上の偏導関数も同様に定義される。
$z=f(x,y)$の
2階の偏導関数は4つあり
\begin{align*}
z_{xx},&\quad z_{xy},\quad z_{yx},\quad z_{yy}\\
\\&\text{あるいはライプニッツ流に書くと}\\ \\
\dfrac{\bd^2z}{\bd x\partial x}=\dfrac{\bd^2z}{\bd x^2},&\quad
\dfrac{\bd^2z}{\bd y\partial x},\quad
\dfrac{\bd ^2z}{\bd x\partial y},\quad
\dfrac{\bd z}{\bd y\partial y}=\dfrac{\bd^2z}{\bd y^2}
\end{align*}
である。
$z=f(x,y)$の
3階の偏導関数は8つあり
\begin{align*}
z_{xxx},\quad z_{xxy},\quad z_{xyx},\quad z_{xyy}&,\quad
z_{yxx},\quad z_{yxy},\quad z_{yyx},\quad z_{yyy}\\
\\&\text{あるいはライプニッツ流に書くと}\\ \\
\dfrac{\bd^3z}{\bd x^3},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd y\partial x^2},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd x\partial y\partial x},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd y^2\partial x},&\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd x^2\partial y},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd y\partial x\partial y},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd x\partial y^2},\,
\dfrac{\bd^3z}{\bd y^3}
\end{align*}
である。
$f_{xy}$ は $f$ を最初は $x$ で微分し次に$y$で微分した
ものである。
$f_{yx}$ は $f$ を最初は $y$ で微分し次に $x$ で微分した
ものであり，
この2つは一般に違うものである。
しかしある条件の元では一致する。
このことについては後 (2.6}節) で取り上げる。
演習問題 2.13
次の関数について
$z_s,z_t$ および $z_{ss},z_{st},z_{ts},z_{tt}$ を求めよ。
- $z=\sin x\cos y,x=s^2-t^2,y=2st$
- $z=\sin (x^2+y^2),x=s+t,y=st$
- $z=\sin(x+2y),x=\dfrac ts,y=\dfrac st$
逆関数がでてくる場合は次の形の様に行列で考えた方が分かりやすいかもしれない。
定義 2.15
$2$変数関数の組
$x=x(s,t)$,
$y=y(s,t)$に対し
$$\frac{D(x,y)}{D(s,t)}
=\left(
\begin{array}{cc}
\dfrac{\bd x}{\bd s}&\dfrac{\bd x}{\bd t}\\
\dfrac{\bd y}{\bd s}&\dfrac{\bd y}{\bd t}
\end{array}\right)$$
をこの関数（の組）のヤコビ行列といい，
この行列の行列式を
$$\dfrac{\bd(x,y)}{\bd(s,t)}
==\left|
\begin{array}{cc}
\dfrac{\bd x}{\bd s}&\dfrac{\bd x}{\bd t}\\
\dfrac{\bd y}{\bd s}&\dfrac{\bd y}{\bd t}
\end{array}\right|$$
で表わし，ヤコビアン(ヤコビ行列式)という。
ヤコビ行列を用いると定理 2.14 は次のように書き直すことができ
る。
定理 2.16
2つの関数の組 $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ と
$u=u(s,t)$, $v=v(s,t)$ に対し
$$\dfrac{D(x,y)}{D(s,t)}=\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)}\dfrac{D(u,v)}{D(s,t)}$$
が成立する。
特に逆関数に関しては
$$\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)}=\left(\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^{-1}$$
となる。
演習問題 2.14
定理 2.14 から定理 2.16
を導け。
例 2.17
定理 2.16 を用いて導関数を求める。
$$z=f(x,y)=x^2+y^2,\qquad s=x+y,\qquad t=xy$$
とする。
合成関数の導関数の定理(定理 2.14)から
$$z_s=z_xx_s+z_yy_s$$
となる。$z_x,z_y$は求めることができるが，$x_s,y_s$はこのままでは求めるこ
とができない。
そこで定理 2.16 を用いる。
\begin{align*}
\dfrac{D(s,t)}{D(x,y)}&=\left(\begin{array}{cc}
{s_x}&{s_y}\\{t_x}&{t_y}
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}
{1}&{1}\\{y}&{x}
\end{array}\right)
\end{align*}
より
\begin{align*}
\left(\begin{array}{cc}
{x_s}&{x_t}\\{y_s}&{y_t}
\end{array}\right)
&=\dfrac{D(x,y)}{Ds,t)}
=\kakko{\dfrac{D(s,t)}{D(x,y)}}^{-1}=
\frac1{x-y}\left(\begin{array}{cc}
{x}&{-1}\\{-y}&{1}
\end{array}\right)
\end{align*}
となる。よって
\begin{align*}
z_s&=z_xx_s+z_yy_s
=2x\frac x{x-y}+2y\frac{-y}{x-y}\\
&=\frac{2(x-y)(x+y)}{x-y}=2(x+y)
\end{align*}
となる。$z_{ss}$ も求めよう。定理 2.14 において
$z$ を $z_s$ にすると
$$z_{ss}=\kakko{z_s}_s=\kakko{z_s}_xx_s+\kakko{z_s}_yy_s$$
が得られる。よって
\begin{align*}
z_{ss}&=2\frac x{x-y}+2\frac{-y}{x-y}=2
\end{align*}
が得られる。$z_t,z_{tt},z_{st}$も同様に得られる。
演習問題 2.15
次の場合に$\dfrac{D{x,y}}{D{u,v}}$ 及び
$\dfrac{D{u,v}}{D{x,y}}$ を求めよ。
- $x=v^2,y=u^2$
- $x=u^2-v^2,y=2uv$
- $x=u\cos v,y=u\sin v$
- $x=u,y=u+v$
演習問題 2.16
次の関数に対し
$\dfrac{\bd z}{\bd s},\dfrac{\bd z}{\bd t},\dfrac{\bd^2z}{\bd s^2},
\dfrac{\bd^2z}{\bd t^2},
\dfrac{\bd^2z}{\bd s\bd t}$ を求めよ。
- $z=x+y^2$,$s=x+y,t=xy$
- $z=x+y$,$s=x^2+y^2,t=x^2y^2$
- $z=x+y,s=x^2+y^2,t=xy$
- $z=x+y,s=x^2-y^2,t=2xy$
- $z=xy,s=x,t=x+y$
- $z=xy,s=x\cos y,t=x\sin y$
演習問題 2.17
$x=r\cos\theta$,
$y=r\sin\theta$とする(2次元の極座標表示)。
ヤコビ行列$\dfrac{D(x,y)}{D(r,\theta)}$ およびヤコビアン
$\dfrac{D(x,y)}{D(r,\theta)}$を計算し，関数 $z=f(x,y)$ に対し次を示せ。
- $\left(\dfrac{\bd z}{\bd x}\right)^2+\left(\dfrac{\bd z}{\bd y}\right)^2=
\left(\dfrac{\bd z}{\bd r}\right)^2+
\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\bd z}{\bd \theta}\right)^2$
- $\dfrac{\bd^2z}{\bd x^2}+\dfrac{\bd^2z}{\bd y^2}=
\dfrac{\bd^2z}{\bd r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\bd z}{\bd r}+
\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\bd^2z}{\bd\theta^2}$
演習問題 2.18
[1] $x=u\cos\alpha-v\sin\alpha$,
$y=u\sin\alpha+v\cos\alpha$ ($\alpha$は定数)
のとき次を示せ。
- $z_x^2+z_y^2=z_u^2+z_v^2$
- $z_{xx}+z_{yy}=z_{uu}+z_{vv}$
[2] $x+y=e^{u+v}$,
$x-y=e^{u-v}$
に対し
$z_{xx}-z_{yy}=e^{-2u}(z_{uu}-z_{vv})$
が成立することを示せ。
[3] $x+y=u$, $y=uv$
ならば
$xz_{xx}+yz_{xy}+z_x=uz_{uu}-vz_{uv}+z_u$
となることを示せ。
(2.5) 3変数関数の微分
今まで2変数関数の微分について学んだ。
ここでは3変数関数について見る。
2変数関数の場合とほとんど平行に議論が進むことが確認出来る。
3変数 のときは独立変数は通常 $x,y,z$ を使用するが，
4変数以上も同様であるので，$x_1,x_2,x_3$ を使用する。
定義 2.18
関数 $y=f(x_1,x_2,x_3)$ が $(x_1,x_2,x_3)=(a_1,a_2,a_3)$ で
$x_1$ に関して偏微分可能とは
$$\lim_{h\ra 0}\frac{f(a_1+h,a_2,a_3)-f(a_1,a_2,a_3)}{h}$$
が収束することを言う。
各点で偏微分可能のとき導関数を考えることができる。これらを
$x_1$ に関する偏導関数と言う。
$x_1$に関する偏導関数は
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}\hS
\frac{\partial y}{\partial x_1}\hS f_{x_1}\hS z_{x_1}$$
等と書かれる。
$x_2,x_3$ に関しても同様に定義できる。
例えば $x_2$ に関する偏導関数は ($x_2$ に関し偏微分可能なとき)
\begin{align*}
\dfrac{\bd f}{\bd x_2}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x_1,x_2+h,x_3)-f(x_1,x_2,x_3)}h
\end{align*}
と書ける。
$x_1,x_2$ 及び $x_3$ に関して偏微分可能のとき，単に偏微分可能と言う。
3変数関数の場合全微分可能性は幾何的には「接空間の存在」を意味する。
定義 2.19
$y=f(x_1,x_2,x_3)$ は点 $(a_1,a_2,a_3)$ のまわりで定義されていて
連続とする。定数 $A,B,C,D$ が存在して
\begin{eqnarray*}
\varepsilon(h_1,h_2,h_3)&=&
\frac1{\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}}\bigg\{f(a_1+h_1,a_2+h_2,a_3+h_3)
&-\big(A+Bh_1+Ch_2+Dh_3\big)\bigg\}
%
%\lefteqn{\hbox to -25mm{}\varepsilon(h_1,h_2,h_3)=}\\
%&&
%\hbox to -25mm{}\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2,a_3+h_3)-f(a_1,a_2,a_3)%
%-\fracORG{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,a_3)h_1-
%\fracORG{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,a_3)h_2-
%\fracORG{\partial f}{\partial x_3}(a_1,a_2,a_3)h_3}{\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}}
\end{eqnarray*}
とおくとき，
$$\lim_{(h_1,h_2,h_3)\ra(0,0,0)}\varepsilon(h_1,h_2,h_3)=0$$
が成立するとする。
このとき
$f(x_1,x_2,x_3)$ は $(a_1,a_2,a_3)$ で全微分可能という。
全微分可能を単に微分可能という場合もある。
演習問題 2.19
$f(x_1,x_2,x_3)$ が $(a_1,a_2,a_3)$ で全微分可能のとき
$f(x_1,x_2,x_3)$ は $(a_1,a_2,a_3)$ で偏微分可能であり，
$A=f(a_1,a_2,a_3),B=\dfrac{\bd f}{\bd x_1}(a_1,a_2,a_3),
C=\dfrac{\bd f}{\bd x_2}(a_1,a_2,a_3),
D=\dfrac{\bd f}{x_3}(a_1,a_2,a_3)$
となることを示せ。
$f(a_1,a_2,a_3)+
\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,a_3)h_1+
\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,a_3)h_2+
\frac{\partial f}{\partial x_3}(a_1,a_2,a_3)h_3$
が接空間を表す1次式であり，この1次式により関数 $f(x_1,x_2,x_3)$
を近似している。
合成関数に関しても2変数と同様の結果が成立する。
定理 2.20
$y=f(x_1,x_2,x_3)$,
$x_1=x_1(t)$,
$x_2=x_2(t)$,
$x_3=x_3(t)$
のとき
$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\bd y}{\bd x_1}\dfrac{dx_1}{dt}+
\dfrac{\bd y}{\bd x_2}\dfrac{dx_2}{dt}+
\dfrac{\bd y}{\bd x_3}\dfrac{dx_3}{dt}$$
定義 2.21
3変数関数3個の組
$x_1=x_1(t_1,t_2,t_3)$,
$x_2=x_2(t_1,t_2,t_3)$,
$x_3=x_3(t_1,t_2,t_3)$
に対し
$$\dfrac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(t_1,t_2,t_3)}=
\left(\begin{array}{ccc}
{\dfrac{\bd x_1}{\bd t_1}}&{\dfrac{\bd x_1}{\bd t_2}}&{\dfrac{\bd x_1}{\bd t_3}}\\
{\dfrac{\bd x_2}{\bd t_1}}&{\dfrac{\bd x_2}{\bd t_2}}&{\dfrac{\bd x_2}{\bd t_3}}\\
{\dfrac{\bd x_3}{\bd t_1}}&{\dfrac{\bd x_3}{\bd t_2}}&{\dfrac{\bd x_3}{\bd t_3}}
\end{array}\right)$$
をこの関数(の組)のヤコビ行列という。
この行列の行列式を
$$\dfrac{\bd(x_1,x_2,x_3)}{\bd(t_1,t_2,t_3)}
=\det\left(\dfrac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(t_1,t_2,t_3)}\right)$$
で表し，ヤコビアンという。
定理
3つの関数の組
$x_1=x_1(u_1,u_2,u_3)$,
$x_2=x_2(u_1,u_2,u_3)$,
$x_3=x_3(u_1,u_2,u_3)$
と\\
$u_1=u_1(t_1,t_2,t_3)$,
$u_2=u_2(t_1,t_2,t_3)$,
$u_3=u_3(t_1,t_2,t_3)$
に対し
$$\dfrac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(t_1,t_2,t_3)}=
\dfrac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}
\dfrac{D(u_1,u_2,u_3)}{D(t_1,t_2,t_3)}$$
が成立する。
特に
逆関数に関しては
$$\dfrac{D(u_1,u_2,u_3)}{D(x_1,x_2,x_3)}=
\left(\dfrac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}\right)^{-1}$$
となる。
演習問題[*] 2.20
定理 2.20 および
定理 2.22 を証明せよ。
演習問題[*] 2.21
次の関数の偏導関数を求めよ。
- $w=f(x,y,z)=x^2y^3z^4$
- $w=xyz\sin(x^2+y^2+z^2)$
- $w=e^{x^2+y^3+z^4}$
- $w=x^2y^3\log(x^2+y^3+z^4)$
演習問題[*] 2.22
次の場合に $\dfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}$ 及び
$\dfrac{D(u,v,w)}{D(x,y,z)}$ を求めよ。
- $x=v^2,y=w^2,z=u^2$
- $x=u^2-v^2+w^2,y=2uv,z=2uw$
- $x=u\cos v,y=u\sin v,z=u+w$
- $x=u,y=u+v,z=u+v+w$
演習問題[*] 2.23
次の関数に対し
$\ds\dfrac{\bd w}{\bd s},\dfrac{\bd w}{\bd t},\dfrac{\bd w}{\bd u},
\dfrac{\bd^2w}{\bd s^2},\dfrac{\bd^2w}{\bd t^2},
\dfrac{\bd^2w}{\bd u^2},\dfrac{\bd^2w}{\bd s\partial t}$ を求めよ。
- $w=x^3+y^3+z^3$,$x+y+z=s,xy+yz+zx=t,xyz=u$
- $w=x+y+z$,$x^2+y^2+z^2=s,xyz=t,xy+yz+zx=u$
演習問題 2.24
$u=\frac1r,r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ のとき
$$\dfrac{\bd^2u}{\bd x^2}+\dfrac{\bd^u}{\bd y^2}+\dfrac{\bd^2u}{\bd z^2}=0$$
を示せ。
演習問題 2.25
$x=r\sin\theta\cos\phi$,
$y=r\sin\theta\sin\phi$,
$z=r\cos\theta$
とする(3次元の極座標表示)。
関数c$w=f(x,y,z)$cに対し次を示せ。
- ヤコビアン $\dfrac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}$cを計算せよ。
- $\left(\dfrac{\bd w}{\bd x}\right)^2+
\left(\dfrac{\bd w}{\bd y}\right)^2+
\left(\dfrac{\bd w}{\bd z}\right)^2=
\left(\dfrac{\bd w}{\bd r}\right)^2+
\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\bd w}{\bd\theta}\right)^2+
\left(\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\bd w}{\bd\phi}\right)^2$
- $\dfrac{\bd^2w}{\bd x^2}+\dfrac{\bd^2w}{\bd y^2}+
\dfrac{\bd^2w}{\bd z^2}=
\dfrac{\bd^2w}{\bd r^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{\bd w}{\bd r}+
\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial\;}{\partial\theta}
\left(\sin\theta\dfrac{\bd w}{\bd\theta}\right)+
\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\bd w}{\bd\phi}$
Last modified: 2026/09/22 19:54