(2.6) 高階偏導関数とテーラーの定理
$f_{xy}$ は $f$ を最初は $x$ で微分し次に $y$ で微分した
ものである。
$f_{yx}$ は $f$ を最初は $y$ で微分し次に $x$ で微分した
ものであり，
この2つは一般に違うものである。
しかしある条件の元では一致する。
定理 2.23[シュワルツの定理]
点 $(a,b)$ の近傍で，$f_x,f_y,f_{xy}$ が存在して，
$f_{xy}$ が $(a,b)$ で連続ならば，
$f_{yx}$ も存在して $f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$
が成立する。
演習問題[*] 2.26
定理 2.23 を証明せよ。
定義 2.24
関数 $f(x,y)$ に対し $f_x$ および $f_y$
が存在して共に連続であるとき関数 $f(x,y)$
は $C^1$級 であるという。
定理 2.11 より$C^1$級であれば全微分可能である。
すべての2階までの偏導関数が存在して連 続のとき関数
$f(x,y)$ は$C^2$級であるという。
$f$が $C^2$ 級のとき
定理 2.23 より $f_{xy}=f_{yx}$ が成立する。
関数 $f(x,y)$ の$n$階までの導関数がすべて存在して
連続であれば$C^n$級であるという。
関数 $f(x,y)$ が $C^n$級 であれば，
$n$ 階までの導関数は
$x,y$ で微分した回数が同じであれば
その順序によらず決る($\to$演習問題 2.27)。
演習問題 2.27
定理 2.23 を仮定して次を示せ。
- $z=f(x,y)$ が $C^3$級 ならば
$$z_{xxy}=z_{xyx}=z_{yxx},\quad z_{yyx}=z_{yxy}=z_{xyy}$$
が成立する。
- $[*]$ $z=f(x,y)$ が $C^n$ 級であるとする。
$\alpha$ を $x$ または $y$ が $k$個 ($0\leqq k\leqq n-2$)
並んだもの，$\beta$ を $x$ または $y$ が $n-k-2$
個並んだものとすると
$$z_{\alpha xy\beta}=z_{\alpha yx\beta}$$
が成立する。例えば $\alpha=xy,\beta=yy$ のときは
$z_{xyxyyy}=z_{xyyxyy}$ を意味する。
- $[*]$ $z=f(x,y)$ が $C^n$ 級
ならば $n$ 階の導関数は
$x,y$ で微分した回数が同じであればその順序によらず決る。
以下この節では関数は何回でも微分できることを仮定し，
それを特に断らないことにする。
多変数のテーラーの定理を述べるために次の記号を導入する。
この記号を使用しないと，定理を書き下すだけで結構な手間である。
定義 2.25
$\dfrac{\bd}{\bd x}$を独立したものとして扱い$\dfrac{\bd}{\bd x}f$は
$\dfrac{\bd}{\bd x}$ が $f$ に作用していると見なす。
このとき形式的に
$D=h\dfrac{\bd}{\bd x}+k\dfrac{\bd}{\bd y}$と定義し，
$Df$を
$$Df=h\dfrac{\bd}{\bd x}f+k\dfrac{\bd}{\bd y}f$$
と定義する。
また
$$D^2=
\left(h\dfrac{\bd}{\bd x}+k\dfrac{\bd}{\bd y}\right)^2
=h^2\dfrac{\bd^2}{x^2}+2hk\dfrac{\bd^2}{\bd x\bd y}+k^2\dfrac{\bd^2}{\bd y^2}$$
なので
$$D^2f=
\left(h\dfrac{\bd}{\bd x}+k\dfrac{\bd}{\bd y}\right)^2f
=h^2\dfrac{\bd^2}{\bd x^2}f+2hk\dfrac{\bd^2}{\bd x\bd y}f
+k^2\dfrac{\bd^2}{\bd y^2}f$$
と考える。
一般に
$D^n=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+
k\dfrac{\partial }{\partial y}\right)^n
={\ds \sum_{r=0}^n{}_nC_rh^{n-r}k^r%
\frac{\partial^n}{\partial x^{n-r}\partial y^r}}$
なので
$$D^nf=\left( h\dfrac{\partial }{\partial x}+
k\dfrac{\partial }{\partial y}\right)^nf
={\ds \sum_{r=0}^n{}_nC_rh^{n-r}k^r%
\frac{\partial^n}{\partial x^{n-r}\partial y^r}}f$$
と考える。
定理 2.26[テーラーの定理]
$(a,b)$ と $(a+h,b+k)$ を結ぶ線分は定義域に含まれているとする。
\begin{align*}
f(a+h,b+k)
=&\sum_{j=0}^{n-1}\frac1{j!}D^jf(a,b)+\frac{1}{n!}D^nf(a+\theta h,b+\theta k)\\
=&f(a,b)+Df(a,b)+\cdots+\dfrac{1}{j!}D^jf(a,b)+
\cdots\\
&\phantom{\MSP{2}}
+\dfrac{1}{(n-1)!}D^{n-1}f(a,b)+\dfrac{1}{n!}D^nf(a+\theta h,b+\theta k)
\end{align*}
となる $\theta\hs (0\lt\theta\lt1$) が存在する。
1変数の定理の場合と同様に，
定理の $\dfrac{1}{n!}D^nf(a+\theta h,b+\theta k)$
の項を剰余項といい $R_n$ で表す。
演習問題 2.28
$F(t)=f(a+ht,b+kt)$ とおき，
$F(t)$ に1変数のテーラーの定理を適用することにより
定理 2.26 を証明せよ。
定理 2.26 は $D$ という記号を用いて記述しているので，
1変数の定理と同じ様に見えるが，書き下してみると1変数よりも複雑である。
$n=3$ のときに定理を $D$ という記号を用いずに書く。
\begin{align*}
D^0f&=f&
&Df=hf_x+kf_y\\
D^2f&=h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{yy}&
&D^3f=h^3f_{xxx}+3h^2kf_{xxy}+3hk^2f_{xyy}+k^3f_{yyy}
\end{align*}
なので
\begin{align*}
f(a+h,b+k)=&f(a,b)+hf_x(a,b)+kf_y(a,b)\\
&+{\frac12\Big(}h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b){\Big)}\\
&+{\frac16\Big(}h^3f_{xxx}(a+\theta h,b+\theta k)+3h^2kf_{xxy}(a+\theta h,b+\theta k)\\
&+3hk^2f_{xyy}(a+\theta h,b+\theta k)
+k^3f_{yyy}(a+\theta h,b+\theta k){\Big)}
\end{align*}
となる。
演習問題 2.29
$n=4$のとき定理 2.26 を
$D$ を用いないで記述せよ。また $n=5$ のときも記述せよ。
ここでは剰余項を無視した近似を考える。
関数は $z=f(x,y)=x^2e^y$ で
点は $(a,b)=(1,1)$ とする。
最初に $n=2$ の場合を考える。
$f_x=2xe^y$,
$f_y=x^2e^y$ なので
$f(1,1)=e$，
$f_x(1,1)=2e$,
$f_y{(1,1)}=e$ である。よって
$$f(1+h,1+k)\fallingdotseq e+2eh+ek$$
である。
これは関数 $f$ を $(x,y)=(1,1)$ で$h,k$
に関する1次式で近似している式である(今の場合は接平面の方程式)。
1変数のときと同じように「近似する$1$次式」を定義する。
$x=a+h,y=b+k$ とする。
$$\epsilon(h,k)=\frac{f(a+h,b+k)-(A+Bh+Ck)}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
とおく。
$\ds\lim_{(h,k)\to(0,0)}\epsilon(h,k)=0$
が成立するとき，$A+Bh+Ck$は$(x,y)=(a,b)$ で $f(x,y)=f(a+h,b+k)$
を近似する1次式と呼ぶ。
この例でいうと $e+2eh+ek$は$(x,y)=(1,1)$ で $f(x,y)=x^2e^y$
を近似する1次式であるc(証明は演習問題 2.31)。
全微分可能性の定義と見比べてみれば，
$(x,y)=(a,b)$ で $z=f(x,y)$ を近似する1次式とは $z=f(x,y)$ の
$(x,y)=(a,b)$ での接平面であることが分かる。
$n=3$ の場合は
$$f(1+h,1+k)\fallingdotseq e+2eh+ek+eh^2+2ehk+\dfrac{1}{2}ek^2$$
この式は2次式による近似になっている。
$$\epsilon(h,k)=\frac{f(a+h,b+k)-(A+Bh+Ck+Dh^2+Ehk+Fk^2)}{\kakko{\sqrt{h^2+k^2}}^2}$$
とおく。
$\ds\lim_{(h,k)\to(0,0)}\epsilon(h,k)=0$
が成立するとき，$A+Bh+Ck+Dh^2+Ehk+Fk^2$は$(x,y)=(a,b)$で
$f(x,y)=f(a+h,b+k)$を
近似する2次式
と呼ぶ。この例でいうと
$e+2eh+ek+eh^2+2ehk+\dfrac{1}{2}ek^2$ は
$(x,y)=(1,1)$で$f(x,y)=x^2e^y$ を
近似する2次式である(証明は演習問題 2.31)。
$n$ を大きくしていくと高い次数の式に
よる近似になり，一般に近似が良くなるのは1変数の場合と同様である。
$g(h,k)$を$h,k$ に関する $n$ 次式とする。
$$\epsilon(h,k)=\frac{f(a+h,b+k)-g(h,k)}{\kakko{\sqrt{h^2+k^2}}^n}$$
とおく。
$\ds\lim_{(h,k)\to(0,0)}\epsilon(h,k)=0$
が成立するとき，$g(h,k)$ は $(x,y)=(a,b)$ で $f(x,y)$
を近似する$n$次式と呼ぶ。この定義とテーラーの定理との関連については
演習問題 2.31 参照のこと。
1変数の場合と同様に2変数でも級数展開が考えられるがこの講義では取扱わない。
極値問題への応用は次節で扱う。
演習問題 2.30
次の関数を$(x,y)=(a,b)$で近似する1次式，2次式および3次式を求めよ。
ただし演習問題 2.31 の結果は用いてもよい。
- $z=f(x,y)=(x-1)(y+2) \hS(a,b)=(0,0)$
- $z=f(x,y)=\dfrac{1}{1-2x+3y} \hS(a,b)=(0,0)$
- $z=f(x,y)=\sin(x+y) \hS (a,b)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$
演習問題 2.31
- $f(a,b)+Df(a,b)$ が $(x,y)=(a,b)$ で $f(x,y)$
を近似する1次式であることを示せ。
- $f(a,b)+Df(a,b)+\dfrac1{2!}D^2f(a,b)$ が $(x,y)=(a,b)$ で
$f(x,y)$を近似する2次式であることを示せ。
- $\ds\sum_{j=0}^n\dfrac1{j!}D^jf(a,b)$ が $(x,y)=(a,b)$で$f(x,y)$
を近似する$n$次式であることを示せ。
Last modified: 2026/09/22 22:10