>ガウスの列についての掃き出し法を用いるとパラメタの個数を下限まで減らす事ができるのは何故なのでしょうか。

この質問は（言葉が足りなすぎて）意味をなしませんが、想像するに、与えられたいくつかの縦ベクトルがあるベクトル空間の生成系になっているとき、それらの縦ベクトルを横に並べて出来た行列に対して、列基本変形を何回か施すことにより得られる標準形の縦ベクトル達から零ベクトルを除外すれば残りがちょうどもとのベクトル空間の基底になっていることについて、それは何故かということでしょうか。私はそういうことを講義でやったことはないので、君がそのことを学んだ文献を参照していただくのが一番よいと思いますが、少しだけヒントを差し上げれば、列基本変形を一回施しても、その行列に属する縦ベクトル達は元と同じベクトル空間の生成系になっている、ということが本質です。

>Im、Kerとは何を表しているのですか？

ImはImageと読み日本語訳は「像」、KerはKernelと読み日本語訳は「核」です。与えられた線型写像F:V→Wに対して、Vの元vでF(v)=0を満たすもの全体のなす集合をFの核と言いKerFと書き、Wの元wでw=F(v)となるVの元vが存在するようなもの全体のなす集合をFの像と言いImFと書きます。

>また、記号「⊆」「⊂」の違いと「≡」（←剰余類の記号？）の意味は何なのでしょうか。

「⊆」と「⊂」は同じ意味です。「⊂」を「⊆かつ≠」の意味で使う人もたまにいますが紛らわしいのでやめた方がいいでしょう。

なお、数学的質問はメイルでするより直接口頭で質問して下さった方が手っ取り早いと思います。