>行列式は転置しても値が同じなのは何故でしょうか。
>また、det(AB)=(detA)(detB)が成立するのは何故ですか? (2x2行列式なら実際の計算でわかるが 一般にnxn行列式ではどの様に証明すれば良いのでしょうか)

上の２つの事実の証明は別に難しくありませんが、「何故か？」という質問は単に証明を教えてくれということではなく、それが成り立つことを納得したい、ということなのだと思います。一般的に、証明を読むと（或いは証明を自分で考えると）それが成り立つ理由も納得できる場合もありますが、そうでない場合もあります。
まずは図書館等で参考書を調べて、証明を読んでみることをお勧めします。その間に私は、証明というより、何か納得できるような説明を考えておきましょう。

>ベクトルや関数の「内積」とは具体的に何を表す数量なのですか?

内積は内積であるとしか言いようがありません。「内積」というのは、新しいお友達の名前であって、これから色々とつきあっていく中でどんな人か知る以外に方法はありません。例えば、自分自身との内積が長さの２乗に等しいとか、内積が０の場合は直交しているだとかは、高校でもやって知っているのではありませんか？ 内積というのはある掛け算であって、ベクトルとベクトルを掛けると数が出てくるような掛け算で、それを使うとベクトルの長さや２つのベクトルのなす角のcosineが計算できるものだ、というような理解が取りあえず出来るでしょうが、それで「内積」君のすべてを理解したことにはならないでしょう。
それとも、ベクトルでも函数でも内積が定義されていることに戸惑っておられるのかな？ ベクトルとは何かというとベクトル空間の元のことであり、雑に言うと、例えば、与えられた区間で定義された函数全体のなす集合はベクトル空間をなすので、他の函数と足し合わせたり定数倍したりということだけを考えている限り、函数とはベクトルの一種です。そこで、函数と函数を掛けて積分したものを内積と定義すると、これは幾何学的には高校で習った内積と同じものと思えます。違うのはベクトル空間が無限次元だということだけ。